Chào ace, bài này chúng ta sẽ tìm hiểu về Xóa node khỏi BST trong series tự học về cấu trúc dữ liệu(CTDL) và giải thuật, sau đây cafedev sẽ giới thiệu và chia sẻ chi tiết(khái niệm, độ phức tạp, ứng dụng của nó, code ví dụ…) về nó thông qua các phần sau.
Trong bài trước, chúng ta đã cùng tìm hiểu về thao tác tìm kiếm và chèn thêm node mới trong Binary Search Tree, ở bài học mới này, chúng ta sẽ tiếp tục tìm hiểu về thao tác xóa node cụ thể khỏi BST. Khi tiến hành xóa một node cụ thể khỏi Binary Search Tree, sẽ có ba trường hợp có thể xảy ra:
1. Node cần xóa là một node lá: Lúc này ta đơn giản là chỉ cần xóa node lá này khỏi cây.
50 50
/ \ delete(20) / \
30 70 ———> 30 70
/ \ / \ \ / \
20 40 60 80 40 60 80
2. Node cần xóa chỉ có duy nhất một node con của nó: Sao chép giá trị của node con và gán giá trị này vào node cần xóa, sau đó xóa node con khỏi cây.
50 50
/ \ delete(30) / \
30 70 ———> 40 70
\ / \ / \
40 60 80 60 80
3. Node cần xóa có đủ cả hai node con của nó: Việc đầu tiên cần làm là tìm kiếm ở trong cây nhị phân, node kế thừa có giá trị nhỏ hơn (hoặc lớn hơn, tùy theo thứ tự hiện có của cây là: Các nodes có giá trị nhỏ hơn node root – node Root – Các nodes có giá trị lớn hơn node root, hay ngược lại) gần nhất so với node cần xóa. Sao chép lại giá trị của node kế thừa thỏa mãn yêu cầu đã tìm được và gán giá trị này vào node cần xóa, sau đó xóa đi node kế thừa đã tìm được ở bước đầu.
50 60
/ \ delete(50) / \
40 70 ———> 40 70
/ \ \
60 80 80
Điều quan trọng cần lưu ý ở đây là, xét trường hợp thứ tự hiện có trong cây nhị phân là:
Các nodes có giá trị nhỏ hơn node root – node Root – Các nodes có giá trị lớn hơn node root, thì việc tìm kiếm node có giá trị lớn hơn gần nhất so với node cần xóa chỉ cần thiết khi node code bên phải của node cần xóa không trống. Trong trường hợp cụ thể này, ta có thể tìm thấy node có giá trị lớn hơn gần nhất so với node cần xóa bằng cách tìm kiếm giá trị nhỏ nhất trong phần cây con bên phải của node cần xóa.
Dưới đây là ví dụ cài đặt thao tác xóa node khỏi Binary Search Tree, được thực hiện bởi nhiều ngôn ngữ lập trình khác nhau:
CÁC ĐOẠN CODE VÍ DỤ ĐƯỢC VIẾT BẰNG C++ C JAVA PYTHON C#
C++
// C++ program to demonstrate delete operation in binary search tree
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct node
{
int key;
struct node *left, *right;
};
// A utility function to create a new BST node
struct node *newNode(int item)
{
struct node *temp = (struct node *)malloc(sizeof(struct node));
temp->key = item;
temp->left = temp->right = NULL;
return temp;
}
// A utility function to do inorder traversal of BST
void inorder(struct node *root)
{
if (root != NULL)
{
inorder(root->left);
cout<< root->key;
inorder(root->right);
}
}
/* A utility function to insert a new node with given key in BST */
struct node* insert(struct node* node, int key)
{
/* If the tree is empty, return a new node */
if (node == NULL) return newNode(key);
/* Otherwise, recur down the tree */
if (key < node->key)
node->left = insert(node->left, key);
else
node->right = insert(node->right, key);
/* return the (unchanged) node pointer */
return node;
}
/* Given a non-empty binary search tree, return the node with minimum
key value found in that tree. Note that the entire tree does not
need to be searched. */
struct node * minValueNode(struct node* node)
{
struct node* current = node;
/* loop down to find the leftmost leaf */
while (current && current->left != NULL)
current = current->left;
return current;
}
/* Given a binary search tree and a key, this function deletes the key
and returns the new root */
struct node* deleteNode(struct node* root, int key)
{
// base case
if (root == NULL) return root;
// If the key to be deleted is smaller than the root's key,
// then it lies in left subtree
if (key < root->key)
root->left = deleteNode(root->left, key);
// If the key to be deleted is greater than the root's key,
// then it lies in right subtree
else if (key > root->key)
root->right = deleteNode(root->right, key);
// if key is same as root's key, then This is the node
// to be deleted
else
{
// node with only one child or no child
if (root->left == NULL)
{
struct node *temp = root->right;
free(root);
return temp;
}
else if (root->right == NULL)
{
struct node *temp = root->left;
free(root);
return temp;
}
// node with two children: Get the inorder successor (smallest
// in the right subtree)
struct node* temp = minValueNode(root->right);
// Copy the inorder successor's content to this node
root->key = temp->key;
// Delete the inorder successor
root->right = deleteNode(root->right, temp->key);
}
return root;
}
// Driver Program to test above functions
int main()
{
/* Let us create following BST
50
/ \
30 70
/ \ / \
20 40 60 80 */
struct node *root = NULL;
root = insert(root, 50);
root = insert(root, 30);
root = insert(root, 20);
root = insert(root, 40);
root = insert(root, 70);
root = insert(root, 60);
root = insert(root, 80);
cout << "Inorder traversal of the given tree \n";
inorder(root);
cout<<"\nDelete 20\n";
root = deleteNode(root, 20);
cout<<"Inorder traversal of the modified tree \n";
inorder(root);
cout<<"\nDelete 30\n";
root = deleteNode(root, 30);
cout<<"Inorder traversal of the modified tree \n";
inorder(root);
cout<<"\nDelete 50\n";
root = deleteNode(root, 50);
cout<<"Inorder traversal of the modified tree \n";
inorder(root);
return 0;
}
C
// C program to demonstrate delete operation in binary search tree
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
struct node
{
int key;
struct node *left, *right;
};
// A utility function to create a new BST node
struct node *newNode(int item)
{
struct node *temp = (struct node *)malloc(sizeof(struct node));
temp->key = item;
temp->left = temp->right = NULL;
return temp;
}
// A utility function to do inorder traversal of BST
void inorder(struct node *root)
{
if (root != NULL)
{
inorder(root->left);
printf("%d ", root->key);
inorder(root->right);
}
}
/* A utility function to insert a new node with given key in BST */
struct node* insert(struct node* node, int key)
{
/* If the tree is empty, return a new node */
if (node == NULL) return newNode(key);
/* Otherwise, recur down the tree */
if (key < node->key)
node->left = insert(node->left, key);
else
node->right = insert(node->right, key);
/* return the (unchanged) node pointer */
return node;
}
/* Given a non-empty binary search tree, return the node with minimum
key value found in that tree. Note that the entire tree does not
need to be searched. */
struct node * minValueNode(struct node* node)
{
struct node* current = node;
/* loop down to find the leftmost leaf */
while (current && current->left != NULL)
current = current->left;
return current;
}
/* Given a binary search tree and a key, this function deletes the key
and returns the new root */
struct node* deleteNode(struct node* root, int key)
{
// base case
if (root == NULL) return root;
// If the key to be deleted is smaller than the root's key,
// then it lies in left subtree
if (key < root->key)
root->left = deleteNode(root->left, key);
// If the key to be deleted is greater than the root's key,
// then it lies in right subtree
else if (key > root->key)
root->right = deleteNode(root->right, key);
// if key is same as root's key, then This is the node
// to be deleted
else
{
// node with only one child or no child
if (root->left == NULL)
{
struct node *temp = root->right;
free(root);
return temp;
}
else if (root->right == NULL)
{
struct node *temp = root->left;
free(root);
return temp;
}
// node with two children: Get the inorder successor (smallest
// in the right subtree)
struct node* temp = minValueNode(root->right);
// Copy the inorder successor's content to this node
root->key = temp->key;
// Delete the inorder successor
root->right = deleteNode(root->right, temp->key);
}
return root;
}
// Driver Program to test above functions
int main()
{
/* Let us create following BST
50
/ \
30 70
/ \ / \
20 40 60 80 */
struct node *root = NULL;
root = insert(root, 50);
root = insert(root, 30);
root = insert(root, 20);
root = insert(root, 40);
root = insert(root, 70);
root = insert(root, 60);
root = insert(root, 80);
printf("Inorder traversal of the given tree \n");
inorder(root);
printf("\nDelete 20\n");
root = deleteNode(root, 20);
printf("Inorder traversal of the modified tree \n");
inorder(root);
printf("\nDelete 30\n");
root = deleteNode(root, 30);
printf("Inorder traversal of the modified tree \n");
inorder(root);
printf("\nDelete 50\n");
root = deleteNode(root, 50);
printf("Inorder traversal of the modified tree \n");
inorder(root);
return 0;
}
Java
// Java program to demonstrate delete operation in binary search tree
class BinarySearchTree
{
/* Class containing left and right child of current node and key value*/
class Node
{
int key;
Node left, right;
public Node(int item)
{
key = item;
left = right = null;
}
}
// Root of BST
Node root;
// Constructor
BinarySearchTree()
{
root = null;
}
// This method mainly calls deleteRec()
void deleteKey(int key)
{
root = deleteRec(root, key);
}
/* A recursive function to insert a new key in BST */
Node deleteRec(Node root, int key)
{
/* Base Case: If the tree is empty */
if (root == null) return root;
/* Otherwise, recur down the tree */
if (key < root.key)
root.left = deleteRec(root.left, key);
else if (key > root.key)
root.right = deleteRec(root.right, key);
// if key is same as root's key, then This is the node
// to be deleted
else
{
// node with only one child or no child
if (root.left == null)
return root.right;
else if (root.right == null)
return root.left;
// node with two children: Get the inorder successor (smallest
// in the right subtree)
root.key = minValue(root.right);
// Delete the inorder successor
root.right = deleteRec(root.right, root.key);
}
return root;
}
int minValue(Node root)
{
int minv = root.key;
while (root.left != null)
{
minv = root.left.key;
root = root.left;
}
return minv;
}
// This method mainly calls insertRec()
void insert(int key)
{
root = insertRec(root, key);
}
/* A recursive function to insert a new key in BST */
Node insertRec(Node root, int key)
{
/* If the tree is empty, return a new node */
if (root == null)
{
root = new Node(key);
return root;
}
/* Otherwise, recur down the tree */
if (key < root.key)
root.left = insertRec(root.left, key);
else if (key > root.key)
root.right = insertRec(root.right, key);
/* return the (unchanged) node pointer */
return root;
}
// This method mainly calls InorderRec()
void inorder()
{
inorderRec(root);
}
// A utility function to do inorder traversal of BST
void inorderRec(Node root)
{
if (root != null)
{
inorderRec(root.left);
System.out.print(root.key + " ");
inorderRec(root.right);
}
}
// Driver Program to test above functions
public static void main(String[] args)
{
BinarySearchTree tree = new BinarySearchTree();
/* Let us create following BST
50
/ \
30 70
/ \ / \
20 40 60 80 */
tree.insert(50);
tree.insert(30);
tree.insert(20);
tree.insert(40);
tree.insert(70);
tree.insert(60);
tree.insert(80);
System.out.println("Inorder traversal of the given tree");
tree.inorder();
System.out.println("\nDelete 20");
tree.deleteKey(20);
System.out.println("Inorder traversal of the modified tree");
tree.inorder();
System.out.println("\nDelete 30");
tree.deleteKey(30);
System.out.println("Inorder traversal of the modified tree");
tree.inorder();
System.out.println("\nDelete 50");
tree.deleteKey(50);
System.out.println("Inorder traversal of the modified tree");
tree.inorder();
}
}
Python
# Python program to demonstrate delete operation
# in binary search tree
# A Binary Tree Node
class Node:
# Constructor to create a new node
def __init__(self, key):
self.key = key
self.left = None
self.right = None
# A utility function to do inorder traversal of BST
def inorder(root):
if root is not None:
inorder(root.left)
print root.key,
inorder(root.right)
# A utility function to insert a new node with given key in BST
def insert( node, key):
# If the tree is empty, return a new node
if node is None:
return Node(key)
# Otherwise recur down the tree
if key < node.key:
node.left = insert(node.left, key)
else:
node.right = insert(node.right, key)
# return the (unchanged) node pointer
return node
# Given a non-empty binary search tree, return the node
# with minum key value found in that tree. Note that the
# entire tree does not need to be searched
def minValueNode( node):
current = node
# loop down to find the leftmost leaf
while(current.left is not None):
current = current.left
return current
# Given a binary search tree and a key, this function
# delete the key and returns the new root
def deleteNode(root, key):
# Base Case
if root is None:
return root
# If the key to be deleted is smaller than the root's
# key then it lies in left subtree
if key < root.key:
root.left = deleteNode(root.left, key)
# If the kye to be delete is greater than the root's key
# then it lies in right subtree
elif(key > root.key):
root.right = deleteNode(root.right, key)
# If key is same as root's key, then this is the node
# to be deleted
else:
# Node with only one child or no child
if root.left is None :
temp = root.right
root = None
return temp
elif root.right is None :
temp = root.left
root = None
return temp
# Node with two children: Get the inorder successor
# (smallest in the right subtree)
temp = minValueNode(root.right)
# Copy the inorder successor's content to this node
root.key = temp.key
# Delete the inorder successor
root.right = deleteNode(root.right , temp.key)
return root
# Driver program to test above functions
""" Let us create following BST
50
/ \
30 70
/ \ / \
20 40 60 80 """
root = None
root = insert(root, 50)
root = insert(root, 30)
root = insert(root, 20)
root = insert(root, 40)
root = insert(root, 70)
root = insert(root, 60)
root = insert(root, 80)
print "Inorder traversal of the given tree"
inorder(root)
print "\nDelete 20"
root = deleteNode(root, 20)
print "Inorder traversal of the modified tree"
inorder(root)
print "\nDelete 30"
root = deleteNode(root, 30)
print "Inorder traversal of the modified tree"
inorder(root)
print "\nDelete 50"
root = deleteNode(root, 50)
print "Inorder traversal of the modified tree"
inorder(root)
C#
// C# program to demonstrate delete
// operation in binary search tree
using System;
public class BinarySearchTree
{
/* Class containing left and right
child of current node and key value*/
class Node
{
public int key;
public Node left, right;
public Node(int item)
{
key = item;
left = right = null;
}
}
// Root of BST
Node root;
// Constructor
BinarySearchTree()
{
root = null;
}
// This method mainly calls deleteRec()
void deleteKey(int key)
{
root = deleteRec(root, key);
}
/* A recursive function to insert a new key in BST */
Node deleteRec(Node root, int key)
{
/* Base Case: If the tree is empty */
if (root == null) return root;
/* Otherwise, recur down the tree */
if (key < root.key)
root.left = deleteRec(root.left, key);
else if (key > root.key)
root.right = deleteRec(root.right, key);
// if key is same as root's key, then This is the node
// to be deleted
else
{
// node with only one child or no child
if (root.left == null)
return root.right;
else if (root.right == null)
return root.left;
// node with two children: Get the
// inorder successor (smallest
// in the right subtree)
root.key = minValue(root.right);
// Delete the inorder successor
root.right = deleteRec(root.right, root.key);
}
return root;
}
int minValue(Node root)
{
int minv = root.key;
while (root.left != null)
{
minv = root.left.key;
root = root.left;
}
return minv;
}
// This method mainly calls insertRec()
void insert(int key)
{
root = insertRec(root, key);
}
/* A recursive function to insert a new key in BST */
Node insertRec(Node root, int key)
{
/* If the tree is empty, return a new node */
if (root == null)
{
root = new Node(key);
return root;
}
/* Otherwise, recur down the tree */
if (key < root.key)
root.left = insertRec(root.left, key);
else if (key > root.key)
root.right = insertRec(root.right, key);
/* return the (unchanged) node pointer */
return root;
}
// This method mainly calls InorderRec()
void inorder()
{
inorderRec(root);
}
// A utility function to do inorder traversal of BST
void inorderRec(Node root)
{
if (root != null)
{
inorderRec(root.left);
Console.Write(root.key + " ");
inorderRec(root.right);
}
}
// Driver code
public static void Main(String[] args)
{
BinarySearchTree tree = new BinarySearchTree();
/* Let us create following BST
50
/ \
30 70
/ \ / \
20 40 60 80 */
tree.insert(50);
tree.insert(30);
tree.insert(20);
tree.insert(40);
tree.insert(70);
tree.insert(60);
tree.insert(80);
Console.WriteLine("Inorder traversal of the given tree");
tree.inorder();
Console.WriteLine("\nDelete 20");
tree.deleteKey(20);
Console.WriteLine("Inorder traversal of the modified tree");
tree.inorder();
Console.WriteLine("\nDelete 30");
tree.deleteKey(30);
Console.WriteLine("Inorder traversal of the modified tree");
tree.inorder();
Console.WriteLine("\nDelete 50");
tree.deleteKey(50);
Console.WriteLine("Inorder traversal of the modified tree");
tree.inorder();
}
}
Kết quả in ra là:
Inorder traversal of the given tree
20 30 40 50 60 70 80
Delete 20
Inorder traversal of the modified tree
30 40 50 60 70 80
Delete 30
Inorder traversal of the modified tree
40 50 60 70 80
Delete 50
Inorder traversal of the modified tree
40 60 70 80
Minh họa một số ví dụ bằng hình ảnh:
Độ phức tạp về thời gian: Độ phức tạp về thời gian trong trường hợp xấu nhất của thao tác xóa node khỏi cây BST là O(h) trong đó h là chiều cao của cây BST. Trong trường hợp xấu nhất, chúng ta có thể phải duyệt từ node root cho đến node lá nằm sâu nhất. Chiều cao của một cây lệch (skewed tree) có thể trở thành n và độ phức tạp về thời gian của thao tác xóa có thể trở thành O(n).
Tối ưu các đoạn code trên, dành cho trường hợp node cần xóa có đủ cả hai node con của nó:
Trong các đoạn code đệ quy ở trên, chúng ta gọi đệ quy hàm delete() cho node kế thừa (xem lại phần trên để hiểu về node kế thừa này). Chúng ta có thể tránh việc gọi hàm đệ quy bằng cách lưu dấu/theo dõi node cha của node kế thừa, làm vậy, chúng ta có thể xóa đi node kế thừa một cách đơn giản bằng cách làm cho node con của node cha trở thành NULL. Bởi vì chúng ta đã biết được rằng node kế thừa sẽ luôn luôn là một node lá. Dưới đây là ví dụ cài đặt thao tác xóa node đã được tối ưu trong cây BST, được thực hiện bằng ngôn ngữ C++:
// C++ program to implement optimized delete in BST.
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct Node {
int key;
struct Node *left, *right;
};
// A utility function to create a new BST node
Node* newNode(int item)
{
Node* temp = new Node;
temp->key = item;
temp->left = temp->right = NULL;
return temp;
}
// A utility function to do inorder traversal of BST
void inorder(Node* root)
{
if (root != NULL) {
inorder(root->left);
printf("%d ", root->key);
inorder(root->right);
}
}
/* A utility function to insert a new node with given key in BST */
Node* insert(Node* node, int key)
{
/* If the tree is empty, return a new node */
if (node == NULL)
return newNode(key);
/* Otherwise, recur down the tree */
if (key < node->key)
node->left = insert(node->left, key);
else
node->right = insert(node->right, key);
/* return the (unchanged) node pointer */
return node;
}
/* Given a binary search tree and a key, this function deletes the key
and returns the new root */
Node* deleteNode(Node* root, int k)
{
// Base case
if (root == NULL)
return root;
// Recursive calls for ancestors of
// node to be deleted
if (root->key > k) {
root->left = deleteNode(root->left, k);
return root;
}
else if (root->key < k) {
root->right = deleteNode(root->right, k);
return root;
}
// We reach here when root is the node
// to be deleted.
// If one of the children is empty
if (root->left == NULL) {
Node* temp = root->right;
delete root;
return temp;
}
else if (root->right == NULL) {
Node* temp = root->left;
delete root;
return temp;
}
// If both children exist
else {
Node* succParent = root;
// Find successor
Node *succ = root->right;
while (succ->left != NULL) {
succParent = succ;
succ = succ->left;
}
// Delete successor. Since successor
// is always left child of its parent
// we can safely make successor's right
// right child as left of its parent.
// If there is no succ, then assign
// succ->right to succParent->right
if (succParent != root)
succParent->left = succ->right;
else
succParent->right = succ->right;
// Copy Successor Data to root
root->key = succ->key;
// Delete Successor and return root
delete succ;
return root;
}
}
// Driver Program to test above functions
int main()
{
/* Let us create following BST
50
/ \
30 70
/ \ / \
20 40 60 80 */
Node* root = NULL;
root = insert(root, 50);
root = insert(root, 30);
root = insert(root, 20);
root = insert(root, 40);
root = insert(root, 70);
root = insert(root, 60);
root = insert(root, 80);
printf("Inorder traversal of the given tree \n");
inorder(root);
printf("\nDelete 20\n");
root = deleteNode(root, 20);
printf("Inorder traversal of the modified tree \n");
inorder(root);
printf("\nDelete 30\n");
root = deleteNode(root, 30);
printf("Inorder traversal of the modified tree \n");
inorder(root);
printf("\nDelete 50\n");
root = deleteNode(root, 50);
printf("Inorder traversal of the modified tree \n");
inorder(root);
return 0;
}
Kết quả in ra là:
Inorder traversal of the given tree
20 30 40 50 60 70 80
Delete 20
Inorder traversal of the modified tree
30 40 50 60 70 80
Delete 30
Inorder traversal of the modified tree
40 50 60 70 80
Delete 50
Inorder traversal of the modified tree
40 60 70 80
Nguồn và Tài liệu tiếng anh tham khảo:
Tài liệu từ cafedev:
- Full series tự học Cấu trúc dữ liệu và giải thuật từ cơ bản tới nâng cao tại đây nha.
- Ebook về Cấu trúc dữ liệu và giải thuật tại đây.
- Các series tự học lập trình khác
Nếu bạn thấy hay và hữu ích, bạn có thể tham gia các kênh sau của cafedev để nhận được nhiều hơn nữa:
Chào thân ái và quyết thắng!
 và giải thuật, sau đây cafedev sẽ giới thiệu và chia sẻ chi tiết){kind=link}